平成26年度　理論　問5について、よく理解できないので詳細な解説を教えてください。宜しくお願いします。

まず、キルヒホッフの電流則の拡張として、電流を電荷量に置き換えて解きます。

上の10μFに左から右に流れる電荷量をQ1、20μFに左から右に流れる電荷量をQ2、下の10μFに左から右に流れる電荷量をQ3とします。

まず、b点において、キルヒホッフの電流則（の拡張、電荷の保存則）より、

• Q1+Q2+Q3=0

次に、コンデンサの両端に生じる電圧を求めると、コンデンサに流れた電荷量Q、静電容量C、電圧Vの間にはQ=CVの関係があることを利用して、

• 上の10μF：V1=Q1÷0.00001（左側が＋）
• 20μF：V2＝Q2÷0.00002（左側が＋）
• 下の10μF：V3=Q3÷0.00001（左側が＋）

の電圧が発生することが求まります。

ここで、接続された電池とコンデンサ両端の電圧の関係から、

• V1-V2=Q1÷0.00001-Q2÷0.00002=20V・・・①
• V2-V3=Q2÷0.00002-Q3÷0.00001=10V・・・②
• V1-V3=Q1÷0.00001-Q3÷0.00001=30V・・・③

という関係が成り立ちます。

• ①式の両辺に0.00002を掛けると、2Q1-Q2=0.0004・・・④
• ②式の両辺に0.00002を掛けると、Q2-2Q3=0.0002・・・⑤
• ③式の両辺に0.00001を掛けると、Q1-Q3=0.0003・・・⑥

ちなみに、④⑤⑥は独立した3式に見えますが、2式から残りの1式を導出できるので、実質は2つの式です。ここでもう一つ、Q1+Q2+Q3=0を利用します。

ここで①式に、Q1+Q2+Q3=0を変形したQ1=-Q2-Q3を代入すると、

• -2Q2-2Q3-Q2=-3Q2-2Q3=0.0004・・・⑦

⑥式にQ1=-Q2-Q3を代入すると、

• -Q2-Q3-Q3=-Q2-2Q3=0.0003・・・⑧

⑦式-⑧式を求めると、

• -3Q2-2Q3+Q2+2Q3=-2Q2=0.0001

となり、Q2は-0.00005クーロンであることが求められます。つまり、20μFのコンデンサには、右から左に0.00005クーロンの電荷量が流れることが分かりますので、コンデンサの両端に発生する電圧は、V=Q/Cより、0.00005÷（20×10^-6)=2.5Vとなります。

 

次に、重ね合わせの原理を用いた解き方です。

まず、上側の20Vの電源を残し、下の10Vをショートさせた回路を考えます。するとこれは、20Vの＋端子から上の10μFにつながり、中の20μFと下の10μFが並列になった30μFを経由して20Vの電源のマイナス端子に至る回路になります。コンデンサに電荷Qが流れ込んだとき、その両端に発生する電圧Vと静電容量Cの間にはQ=CVの関係がありますから、10μFと30μFの直列回路に電流が流れた際、コンデンサの両端に発生する電圧は静電容量に反比例します。したがって10μFと30μFの両端に発生する電圧は3:1になりますから、上の10μFには左側を＋にして15V、中の20μFと下の10μFには右側を＋にして5Vの電圧が発生します。

次に、下側の10Vの電源を残し、上の20Vをショートさせた回路を考えます。するとこれは、10Vの＋端子から上の10μFと中の20μFの並列、合計30μFを通り、下の10μFを経由して電源のマイナス端子に至ります。これも上と同様にして、10Vのプラス端子－30μF－10μF－マイナス端子というコンデンサの直列回路になりますから、30μFと10μFの電圧比は1:3となり、上の10μFと中の20μFには左側をプラスとして2.5V、下の10μFには右側をプラスとして7.5Vの電圧が発生することがわかります。

以上の二つを重ね合わせて20μFのコンデンサに発生する電圧を求めると、20Vを残した回路では右側を＋として5V、10Vを残した回路では左側を＋として2.5Vが発生しますから、それらを差し引きして右側を＋として2.5Vが答えとなります。

テキストP83　例題について質問です。回答に、クーロン力は”電界と同じ向きに生じる”とありますが、講座を視聴して、逆向きと考えてしまいました。その後、よくテキストを読み返してみると、4行目に”電荷eの値は負の値であることに注意”と書いてありました。図に描くと逆向きだが、力の向きは電界と同じとゆう事でしょうか？なんだかモヤモヤとしてしまいました・・・あまり深く考える必要はないでしょうか？

ご質問頂き有難うございます。

おっしゃる通りでして、クーロン力は、＋の電荷に対して、電解と同じ方向に生じます。しかし、電子が持っている電荷量は負の値であるため、結果として電子は電解の向きと逆の力を受けるということになります。

円運動の半径式の意味、重さ速度に比例して磁力電荷に反比例、クーロン力とローレンツ力の合力を受けた電子はらせん運動をする、この辺りを押させておけば十分でしょうか？

電験三種の試験レベルでは、それで結構かと思います。（しかも、頻出範囲ではなくたまに出題される程度の分野です）

また、F=qEは、F=eEと同じ意味と考えてよいでしょうか？

その通りです。これは暗黙の了解というか習慣といいますか、電子の電荷量はqで表すこともあればeで表すこともあります。両方を混ぜて使ってしまい混乱を与えてしまったかもしれませんが、ご理解いただけましたら幸いです。

①スイッチＳが「開」で運転時の電圧波形(Ed)：ＬがあるためEdの発生時間が長くなるということは理解できますが、ダイオードがあるのになぜ電圧Edがマイナス側になるのですか？

コイルの特性について確認します。電流が流れていない状態から電圧をかけると、コイル自身に流れる電流が増加するのを嫌い、時間が経つにつれて徐々に電流が流れ出すという性質と、コイルにすでに電流が流れている場合、それを絶とうとしても電流の変化を嫌い、コイル自体が（コイルを貫いて生じている次回のエネルギーをもとにして）電圧を発生し、電流を流し続けようとする性質です。

これをもとにして、交流電源の電圧が0→最大値と増加する部分について考えると、負荷のコイルにかかる電圧も時間とともに増加し、コイルに流れる電流は90度の遅れ位相差をもって増加していきます。交流電源の電圧が最大値→0と減少する部分について考えると、これも90度の遅れ位相差をもってコイルの電流が変化（増加）していきます。

さて、交流電源の電圧が0になった瞬間について考えます。コイルは電源電圧に対して90度の遅れ位相差を持った電流がすでに流れています。コイルは、一度流れた電流を流し続けようとするので、コイルの下側にプラスの電圧を発生させます。すると、コイルの下側端子→（0Vの交流電源）→ダイオード→コイルの上側端子の順で電流が流れ続けることになります。さらに時間が進んで、交流電源が下側に＋の電圧を発生させている状態になっても、コイルが発生する、コイルの下側端子をプラスとした電圧よりも、交流電源の電圧の方が低いうちは、回路に電流が流れ続けます。この状態でedの電圧を測定すると、上側端子よりも下側端子の方が高い電圧ですから、答えの波形は波形１のようになります。なお、コイルの発生電圧が交流電源の電圧よりも小さくなった時点で回路に流れる電流はゼロとなります。

（簡単化のために、より具体的に、例えばコイルの逆起電圧が下側に10V、交流電源電圧が下側に5Vとなっている瞬間をイメージしてもらえば、edがマイナスの電圧で、かつ電流が流れ続けるという状況が理解できるかと思います）

②スイッチＳが「開」で運転時の電流波形(Id)：Edにマイナス電圧が発生するのになぜIdはマイナスの電流が流れないのですか？ダイオードにはマイナスの電圧はかかるけどマイナスの電流は流れないという法則があるのですか？

問題の波形5に関しての疑問かと思います。これも、「コイルにすでに電流が流れている場合、その電流を減らそうとするとコイルはそれに逆らって、電流を継続させる働きをする向きに電圧を発生させる」原理で説明できます。コイルLは下向きに電流が流れるので、その電流を減らそうとする外力（電源電圧が低下する、など）に対して、下側にプラスの電圧を発生させて電流を流し続けようとします。すると、コイル－R－交流電源－ダイオード－コイルの回路が構成されるので、その途中に入っているダイオードに順方向電圧がかかればダイオードは電流を流し、逆方向電圧がかかれば電流はゼロになる、という動作以外の何物でもありません。

③スイッチＳが「閉」で運転時の電流波形(Id)：なぜスイッチＳに電流が流れている間、Edが０Ｖなのですか？

ダイオードは、あくまでも「順方向に電圧がかかればいくらでも電流が流れ、その両端に発生する順電圧は非常に低い」「逆方向に電圧がかかれば、電流を全く流さない」という性質を発揮しているだけです。なので、スイッチを閉にしてしまえば、「コイルが電流を流し続けようとして下側をプラスとした電圧を発生」している間は、コイルと（スイッチで接続された）ダイオードの間で電流が循環します。ダイオードの順方向電圧は非常に低いので（この問題では、理想的なものとしてゼロVとしている）、この間のコイル両端の電圧はゼロとなります。

 

 

理論の12ページの重ね合わせの原理の計算の流れを教えてください。お願いいたします。

重ね合わせの原理というのは、線形回路において成立する法則です。線形回路というのは、回路を構成する素子（抵抗やコンデンサ、コイルなど）において、電圧対電流特性が比例関係になっているものを指します。従って電圧対電流特性が直線ではないダイオードなどの素子を含んでいる場合は、この原理を使うことができません。

重ね合わせの原理は、複数の電圧源や電流源を含む回路において、回路各部の電圧や電流の値は、複数の電圧源や電流源のうち１個だけを残し、他の電圧源は短絡、電流源は開放して求めた値を、電圧源や電流源の個数だけ繰り返して求めた値の和になる、というものです。

テキストP.12の下の回路について具体的に解説します。

まず、左側の4Vの電圧源を残し、右の2Vの電圧源は短絡した回路を考えます。すると、電池のプラス端子－4Ω－（2Ωと5Ωの並列）－電池のマイナス端子という回路になり、4Ωには左から右に14/19アンペア、5Ωには上から下に4/19アンペア、2Ωには上から下に10/19アンペアの電流が流れることが求められます。（オームの法則を用いて計算します）

次に、右側の2Vの電圧源を残し、左の4Vの電圧源は短絡した回路を考えます。すると、電池のプラス端子－（5Ωと4Ωの並列）－2Ω－電池のマイナス端子という回路になります。抵抗に流れる電流を求めると、4Ωには左から右に5/19アンペア、5Ωには下から上に4/19アンペア、2Ωには左から右に9/19アンペアが流れることが求まります。

以上の二つの場合を合計することで回路に流れる電流を求めると、4Ωは左から右に1アンペア、5Ωには0アンペア、2Ωには左から右に1アンペアの電流が流れることがわかります。なお、13ページの下の図において、5Ωに流れる電流がI2bとありますが、これはI3bの誤植です。ご迷惑をお掛けし申し訳ございません。

重ね合わせの原理は、このような電圧源・電流源・抵抗の回路以外にも、平成26年の理論問5のような、電源とコンデンサの組み合わせ回路においても利用することができ、キルヒホッフの法則を用いて解くよりも劇的に簡単に求めることができる場合もあります。

理論のテキストの中でキルヒホッフの法則の例題で3式を連立させて解くところがわかりません。答えまでの流れを教えてください。

キルヒホッフの問題といいますと、11ページの問題(平成17年 理論 問15(b)の改題)ですね。以下に詳細を解説いたします。

キルヒホッフの電圧則は、電源や抵抗などの回路素子が複数組み合わされている回路において、ぐるっと一周ループになっている部分に注目したとき、その一周を構成する回路素子の両端に発生している電圧を足し合わせると必ずゼロになる、というものです。また、電流則は、複数の素子が接続されている接続点において、その点に流れ込む電流と、その点から流れ出す電流は同じであるというものです。

さて、例題において、a→b→c→aの一周のループを流れる電流を仮にi1、d→c→b→dの一周のループを流れる電流をi2、電池の＋端子→a→c→d→電池の－端子と流れる電流をi3とします。すると、左上の16Ωに流れる電流はi1のみ、右上の4Ωに流れる電流はi2のみ、左下の4Ωに流れる電流はi1-i3、右下の16Ωに流れる電流はi2-i3、真ん中の80Ωに流れる電流はi1-i2となります。したがって、a→b→c→aの一周のループについては

• 16i1+80(i1-i2)+4(i1-i3)=0→展開してまとめると、25i1-20i2-i3=0…①

d→c→b→dの一周のループについては、

• 4i2+16(I2-i3)+80(i2-i1)=0→展開してまとめると、-20i1+25i2-4i3=0…②

電池の＋端子→a→c→d→電池の－端子のループについては、

• 4(i3-i1)+16(I3-i2)=40→展開してまとめると、-i1-4i2+5i3=10…③

となり、3つの連立方程式が求められます。

• ここで、①＋②＋③より、4i1+i2=10ですから、i2=10-4i1…④
• ④を①に代入して展開しまとめると、105i1-i3=200…⑤
• ④を②に代入して展開しまとめると、30i1+i3=62.5…⑥

⑤＋⑥を計算すると、i1=1.94444…が求められるので、これを⑤に代入してi3は約4.17Aと求められます。

過去問の理論の平成27年問18(b)解答間違いですよね。

H27問18bについてですが、これはオペアンプを利用した反転増幅器の2段増幅ですから、入力が反転の反転で非反転出力となります。また、一段目の増幅度が100÷20＝5倍、二段目が90÷30＝3倍で合計15倍になります。したがって、入力端子に0.5Vを入れると出力は0.5×15＝7.5V、利得は電圧比なので20logを取ると24dBとなり、答えは（5）になります。

過去問のh27年理論の問16の解説でコンデンサーをΔでbc間で見て4.5μFでYのbcを見た場合、4.5μFになるようにとなるとなぜ9μFとなるのか教えてほしい。a,bの解説ももうちょっと詳しくしてほしいです。

まず、図１の回路においてb-c-d間を取り出すと、図２のようにΔ形に３μFのコンデンサが接続された回路になる、これは説明の必要はないかと思います。

ここで、図２のΔ回路を図３のY回路に変換するわけですが、要するに

• b-c間、c-d間、d-b間を外から見た挙動が同じ

であれば良いことになります。簡単化した例を挙げると、b-c間が２Ω、c-d間が3Ω、d-b間が４Ωの回路ボックスがあったとして、その条件を満たしていれば回路内がΔ型だろうがY型だろうが、または別の組み合わせ回路だろうが、外から見ればどうでも良いわけです。

これをもとにして、問題を見てみます。図２から分かるように、これはΔ型に３μFが接続された回路です。b-c、c-d、d-b間はどれも対称ですから、例としてb-c間を取り上げてみます。すると、これは３μFのコンデンサが１個と、それに直列に接続された３μFのコンデンサが並列になった回路だと分かります。３μFの直列部分（b-d-c間）は、コンデンサの直列接続の容量の式より、１.５μFです。ということは、b-c間は３μFと１.５μFが並列となり、合計４.５μFであることがわかります。

さて、ここで図３を見ると、これはb-c間、c-d間、d-b間どれも静電容量Cのコンデンサが２個直列になった回路になっています。図２の回路から、b-c間、c-d間、d-b間、どれも4.5μFの静電容量があれば良いことになるので、そのためには図3の静電容量Cは9μFであれば良いことになります。これが(a)の答えです。

(b)の問題は、図1の回路の右半分、3μFが3個の部分を図3のように変換して回路を書き直します。すると全体の回路は、添付した図

IMG_0290

のように書き直すことができますので、最終的には１個のコンデンサの静電容量にまで追い込むことができ、これが答えとなります。

P30の例題について、最終的な答えの式にたどり着くまでの詳細な式の展開を教えてください。

 

H22　理論　問10を詳しく式の変換がよくわからないので、お願いします。

ポイントは、R3=の式に持っていきたいので、R2とR2の並列の式を、（R2R3)/(R2+R3)の形から、いったん「抵抗の逆数の和の逆数」の式まで戻すことによってR3の式を単離することと、イコールの右と左に同じ値を足したり、同じ値で割ったりしてもイコールが成り立つのはもちろんですが、イコールの両辺の逆数にしても成立することを使います。

理論の14ページの2013年問6の問題で10Ωに1/6Aに流れることはわかりました。10Ωの電力は1/6A×1/6A×10Ωなので10/36Wもわかります。次に16ページの同じ問題で60Ω、10Vになるのもわかります。電流は1/6Aなので電力は1/6×1/6×60Ωなので60/36W（10/6W）になり、11ページで出した答と違うのですが11ページは他に計算する必要があるのでしょうか？

2013年問6の問題は、「10Ωの抵抗の消費電力を求めよ」でしたが、これは要するに10Ωの抵抗に流れる電流が求まれば計算できますので、ここに流れる電流を求める、という視点から解説をいたしました。

16ページの問題ですが、これは結局回路が「10Vの電池と60Ωの抵抗に置き換えられる」ということを示したものですので、ここから流れる電流は1/6Aとなります。抵抗の消費電力ですが、60/36Wは、「20＋10＋30Ωの抵抗全体で消費される電力」の値になります。従って、2013年問6の問題に忠実に答えを求めると、60/36に（10/(20+10+30))を掛けることで、10/36Wが求められます。

以上、最後の説明が若干飛躍していたためにご迷惑をお掛けし、申し訳ありません。

理論編P.44の回答が間違っているように思います。また、解説をお願いします。

ご指摘いただき有難うございます。

まず、例題図中の「５Ω」はミスプリントなので無視してください。

次に、解答中の誤植ですが、

誤　37.5×（0.6-j0.8)=37.5-j30[A]

正　37.5×(0.6-j0.8)=22.5-j30[A]

となります。また、6行目の√計算中の37.5も22.5が正しいものとなります。

• 問題の解説

誘導性負荷の中身は、抵抗とコイルの組み合わせ回路となっています。ここでは、抵抗とコイルが並列に接続されているとします。

（負荷の中身が、抵抗とコイルの並列か直列かは問題に記述されていませんが、実は直列・並列は相互に変換できますので、都合の良いように解釈してしまって構いません。ここでは並列と考えると考えやすいので、並列として考えます。)

抵抗は、印加される電圧に対して電流が同位相。コイルは、印加される電圧に対して電流が90°遅れて流れます。この位相差のある2つの電流の合成値が37.5Aですから、抵抗に流れる電流をIR、コイルに流れる電流をILとすると、IRの2乗＋ILの２乗のルートを取った値が37.5Aであり、かつ力率が0.6ですから、「sinの2乗＋cosの2乗は1」であることを利用し、IR：ILは0.6：0.8となります。

したがって、37.5×0.6＝22.5AがIR、37.5×0.8＝30AがILと分かります。

さて、外部にRを追加した場合、電源から見ると有効電流IRが、外部抵抗によって増加したように見えるため、この抵抗に流れる電流をxとした場合、(22.5+x)の2乗＋30の2乗のルートを取った値が50Aであることから、逆算してxを求めると17.5Aが求まり、あとはオームの法則によって抵抗は8Ωであることが導き出されます。