ミスター電験　様
コメント有り難うございます。
①から③の展開という事ですが、具体的にはどの点でしょうか？

25i1-20i2-i3=0…①
-20i1+25i2-4i3=0…②
-i1-4i2+5i3=10…③

この①～③の式を同時にすべて満たすi1、i2、i3を求めるというのが、問題を解くための方向性です。上記ではこの後、①＋②＋③を求めて4i1+i2=10としていますが、①～③の連立方程式を解く方法は何もこれに限らず、どう解いてもかまいません。
たとえば、①よりi3を移行し、i3=25i1-20i2とします。
これを②に代入すると、
-20i1+25i2-4(25i1-20i2)=0
となります。また、③に代入すると、
-i1-4i2+5(25i1-20i2)=10
となります。これよりi1やi3を求めてi3に至っても構いません。

①から③の展開がどうにも合いません。

DVDの中でも勿論途中式などは省略してあります。
宜しくお願いします。