Ｓのスイッチを閉じた状態でコイルが0オームになった際、電流がコイルに３Ａ流れます。その際コイルと並列にある20オームの抵抗部分には電流が流れない認識でよろしいのでしょうか。

おっしゃる通り、コイルが0Ωで3Aの電流が流れているとき、並列の抵抗には全く電流が流れません。

一見、いくら何でも少しは電流が流れそう？な気がしてしまいますが、コイルが0Ωということはコイルの両端に発生する電圧も0ボルトです。ということは、並列になっている20Ωの抵抗の両端の電圧も0ボルトになります。

オームの法則から、抵抗に流れる電流は、I=V/Rで求められますので、V=0であれば電流Iも必ずゼロとなるわけです。