H28年　理論A１

ビデオの解説を見ましたが、何回見てもよくわからないので解説お願いします。両辺をqで割って2乗しての部分が、同じになりません。計算の説明が飛んでいて、自分で再現できないので、詳細おねがいします。そしてその答えが、4番だということですが、どうしてBの電荷のところの形が丸になるのか？よろしくおねがいします。

x,y平面上で、ある点(x1,y1)と(x2,y2)の間の距離は、ピタゴラスの定理から√((x1-x2)^2+(y1-y2)^2)で求められます。

つまり、x座標の差の2乗とy座標の差の2乗を合計し、ルートを取った値になります。

これを念頭に置くと、ある点(x,y)と点Aの間の距離は、

• √((x-2d)^2+y^2)

点Bとの間の距離は、

• √((x+d)^2+y^2)

となります。Qクーロンの点電荷から距離r離れた点の電位は、k・(q/r)ですから、ある点における電位は、

• {2Q/√((x-2d)^2+y^2)} + {-Q/√((x+d)^2+y^2)}

で表されます。電位が0Vとなる条件は、この値がゼロになることなので、

• {2Q/√((x-2d)^2+y^2)} + {-Q/√((x+d)^2+y^2)}=0

より、

• {2Q/√((x-2d)^2+y^2)} ={Q/√((x+d)^2+y^2)}

となります。

等式は、両辺に同じ値を掛けても成立しますから、両辺に

• {√((x-2d)^2+y^2)}・{√((x+d)^2+y^2)}

を掛けると、

• 2Q√((x+d)^2+y^2) = Q√((x-2d)^2+y^2)

となります。（御質問より、ここまでは大丈夫かと思います）

この両辺をQで割ると、

• 2√((x+d)^2+y^2) = √((x-2d)^2+y^2)

となり、両辺を2乗すると、

• 4((x+d)^2+y^2)=(x-2d)^2+y^2

最初の項のカッコを外すと、

• 4(x+d)^2+4y^2=(x-2d)^2+y^2

となります。

ここで、中心が(a,b)であり半径がrの円の方程式は

• (x-a)^2+(y-b)^2=r^2

で表されることを念頭に置いて展開しまとめると、解答にあるように

• (x+2d)^2+y^2=(2d)^2

となり、「中心が(-2d,0)で半径が2dの円の方程式」が導出されるわけです。

 

【2017/7/10追加】

赤字部分の展開を追加で掲載しておきます。